大学工科数学计算方法教学之探讨

李华

摘要:阐述了计算方法课程的重要地位和课程特点并从多个角度较为系统地研究了如何引入数值思想.提出了该课程所采用的一种优化教学模式和方法,经多年课堂教学实践证明该教学模式具有相当的优越性.

关键词:计算方法;数值思想;教学模式

1、计算方法课程的重要地位

随着计算机科学技术的飞速发展,人们对信息技术及数据处理的要求越来越高,对数学工具的要求也更加迫切.事实上,数学已在各类科学研究与工程技术中发挥着重要的作用,其应用范围业已覆盖了几乎所有的学科分支,其中与计算机技术紧密结合的科学计算,己经与理论研究和科学实验一道,成为信息技术中不可或缺的重要支柱和前提.

计算方法是科学计算的基础和理论保障.该课程是大学工科数学中的一门重要必修课,其内容丰富,涉及数学分析、代数、微分方程、泛函分析等诸多学科,其本身又自成理论体系.作为一门数学课程,它与其它基础数学课程又有着本质上的区别,它不仅研究自身的理论,而且更多地与实际问题相结合,提供真正具有应用价值的理论成果.计算方法的目的是对数学问题建立计算机能够执行的解题方案,并从理论上加以验证其科学性和有效性.在解决工程实际问题时,常常依据传统数学理论,将其中的数学问题的求解归结为利用数值方法来解决,并借助于计算机得以充分地实现.计算方法业已成为与现代技术并行发展的数学学科,在其它科学领域的研究发展中所发挥的作用也日益突出,并受到越来越广泛的重视.掌握计算方法的基本理论及其应用对工科大学生从事专业研究具有重要意义.

2、计算方法课程的特点

计算方法是以数学问题为研究对象的一门学科,具有丰富完善的理论体系.虽然它是数学的一个分支,但它又不同于纯数学那样只研究数学理论本身,而是着重研究求解数学问题的各种数值计算方法及与此相关的理论,包括方法的收敛性、稳定性和误差分析等等,为数学问题依靠计算机来求解提供有效的数值方法和理论依据.为了使学生能够更好地掌握计算方法课程的基本思想、基本原理和基本方法,除了必须具备一些基础数学学科的基本知识,还要摆脱这些数学学科思维模式的束缚,转而过渡到数值思想.

另外,算法的具体应用和实例分析也是计算方法课程的教学内容.计算方法的应用特点使其不仅是一门具有深刻理论的数学课程,而且需要有一定量的上机实验来具体应用所建立的算法及验证理论结果,是一门理论与实际应用相结合的课程,使理论结果在实践中得以验证,并在实践中丰富其理论.

在一般的工科教学大纲中,基于教学学时的限制,计算方法课程学时也都很有限.在这有限的学时里,如何系统地向学生介绍计算方法的基本方法和基本原理值得深入探讨.文[1]指出:工科大学计算方法教学应该淡化理论,强化应用.我们认为这种教学模式是不科学的.计算方法的教学目的不是让学生仅仅会利用己有的算法去解决某个或某类问题,而应有理有据地、系统地传授其基本思想、基本方法和基本原理,使学生能够知其然,更得知其所以然,并能让学生在遇到新问题时有能力依靠数值方法去解决,注重培养学生的举一反三的能力.因此理论方法和应用都不可忽视.然而,要详尽地讲解所有的理论是不现实的,也是不可能的.如果平铺直叙地泛泛讲一遍,其教学效果肯定是不理想的,到头来学生可能是头脑空空,什么都记不住,什么也用不上.这样,教学内容就要有所侧重,以主带次.在课堂上的有限时间里力求讲清一个侧面,一个主题,而不求面面俱到,突出讲授典型的、具有代表性的并能体现其思想方法的常用算法和理论,而对那些原理相近的内容只加以引导和提示.比如,我们在讲授插值理论时,重点介绍多项式插值理论,而对有理插值理论不做过多讲解,因为有理插值的构造思想可通过多项式插值思想来建立.又如,由于多项式插值的余项推导的基本思想都一致,我们侧重详细介绍Lagrange插值余项的推导,而对Hermite插值等仅只是点到为止,一带而过.

3、建立有效的教学模式

要系统完善地让学生理解和掌握这门课程的理论、方法及实质精髓,体现这门课的特色,提高这门课程的教学效果,在教学中应建立起有效的教学模式,这方面我们做了以下尝试,并取得了令人满意的效果.

3.1借助实际应用背景引进数值方法

计算方法是实际问题的数值模拟方法的设计、分析与软件实现的理论基础.要解决具体的实际问题,首先需要建立起适当的数学模型,这样实际问题的解决便归结为相应的数学问题的求解,然后对所归结的数学问题建立相应的数值方法.通过对实际应用背景的描述,不仅可以激发学生的学习欲望,提供建立数值方法的实际应用源泉,体现数值方法的价值和意义,使我们的数学教学不再是无源之水,无本之木,不再显得那么空洞.而且以实例启示学生为什么建立数值方法,应该如何引进数值方法.建立一种数值方法后,哪些问题是我们值得而必须研究的.例如在汽车、飞机等的外型设计过程中,样条技术的引入使其外型设计越来越光滑、美观.学生了解了样条插值的实际应用背景后就会对样条插值的理论更感兴趣,也会更有动力来学.这样的启发式加互动式教学,对学生深入掌握样条理论起到了非常好的促进作用.诸如这样的实际例子还很多,我们在这里就不)一详述了.

3.2摆脱已有数学思维束缚,逐步建立数值思想

数值方法的最重要目的是借助计算机实现科学计算,而计算机只能处理离散问题.因此,连续问题的离散化是计算方法中最基本的方法之一.学生通过其它数学基础课的学习形成了在连续型框架下解决问题的模式,然而,众所周知,在连续型框架下获得数学问题的精确解是有局限性的,很多数学问题的解是没有具体的解析表达式的,或者解的表达式很复杂而不能应用.例如,只有很少一部微分方程能获得精确解,而大多数微分方程虽然在理论上可以确定其解的存在性,但无法获得其具体的解析解.采用离散化方法既可得到其近似解,又可以用计算机进行科学计算,使数学成果能够更好更快地运用到现代科学技术中.用离散化方法处理连续变量问题的基本思想比较简单,但所需考虑的细节问题却很复杂.比如,如何离散化?用离散化方法得到的数值解的误差、稳定性如何?与精确解法不同的是数值方法应该注重研究哪些理论问题?既要运用其它基础数学的理论成果,又要摆脱原有思维模式的束缚,使学生深入掌握数值思想至关重要.实际问题主要依靠数值解法,而建立数值方法就需要将这些连续变量的数学问题转化为离散变量的相应问题.这样的转化可以通过多种途径实现,但不同的离散化方法可能会得到不同的数值方法.只要掌握了数值方法的思想和理论,学生就能比较容易地研究各种离散化方法并得到其有效的数值解.

另外,由于数值方法的自身特点,不能一味地崇拜已有的数学理论.比如,克莱姆法则在理论上是一种完美的求解线性方程组的方法,但在具体应用时,对于高阶线性方程组不仅会遇到计算量爆炸的问题,还存在误差累积效应.高斯消去法也是一种求解线性组的精确解法,但在实际应用中,由于舍入误差的影响,获得的解未必是精确的,尤其在病态方程组的求解时,其解可能完全失真,因此需要采用选主元技术.有了数值求解思想后,我们就能回答为什么克莱姆法则和高斯消去法会出现这样的问题,我们还能定量地分析产生各种现象的原因和程度.因此,不同于传统的数学思想,我们这里的教学重点应更多地注重于数值思想的特点3.注重建立算法的基本原理,从理论上研究算法的可行性常用的数值方法和建立数值方法的基本原理,是计算方法的重要研究内容,其基本任务就是提供计算机理论可靠、实际可行、计算性能好的各种数值方法.计算方法是一门理论严谨,内容丰富的数学专业课,在学生掌握的已有数学基础上将数学问题的解通过数值演算来构造.具体在讲授算法的建立时,必须讲清楚相应的理论依据,每个细节都要严谨,并从理论上研究其可行性,比如对误差、收敛性、稳定性、计算量及所占内存等问题的研究.还要鼓励和启发学生通过掌握数值思想建立新算法,并使学生懂得一个算法只有从理论上验证了可行性才有应用价值.只有这样,学生才能真正掌握数值方法的思想精髓,使学生不局限于只掌握一些已有的常用的典型算法,还要具有创新思维和建立新算法的能力.例如讲授解方程组的迭代解法时,不仅要介绍迭代法的基本思想、使用范围,让学生掌握迭代法的建立原理,而且在理论上要研究所建立迭代法的有效性和可行性,即收敛性、收敛速度及迭代一步所需的计算工作量.只有收敛且收敛速度较快的迭代法才有价值,在什么条件下迭代法收敛?收敛速度依赖于什么?这都需要教师给出严密的理论论证,否则学生会无原则地滥用算法.

另外,有的方法尽管在理论上还不够严密,但通过实际计算、对比分析等手段被证明是行之有效的方法也可采用.

4、加强数值实验,培养学生解决实际问题的能力

计算方法不仅具有其它数学学科的高度抽象性与严密科学性的特点,也具有应用的广泛性与数值实验的高度技术性的特点,但它又有别于其它数学基础课.建立一个算法后,进行具体的数值实验是必不可少的.通过数值实验,可以使学生深入掌握数值方法的思想,不断提高其实际应用能力和创新能力,并在具体的数值实验中发现新问题和尝试解决新问题.在上机课上,让学生亲自动手编程上机去做更多的数值实验来解决一些实际问题,通过实践掌握计算方法解决实际问题的基本过程、思考方式和规律,做到活学活用,学以致用.如通过演示多项式插值的数值实验,形象具体地展示了插值的特点,误差的大小.当选用等距的插值基点,随着插值基点的加密采用高次插值时,虽然插值函数在更多点上与所逼近的函数取相同的函数值,但从整体上看,这样做并不一定改善了逼近效果.当插值多项式的次数很高时,会产生/龙格0现象.这就留给学生一个更深入的研究课题:当采用等距的插值基点,增加插值基点的个数,提高插值多项式的次数时,为什么会产生/龙格00现象?为什么和想象的结果不一致?另外,在上机时布置一些有启发性的题目,并自行设计算法解决,从而调动了学生的积极性,有效地培养了学生的创新精神和创新能力,促进了学生的个性发展.

5、系统有效地进行课外指导

对大多数工科学生来讲,由原有数学思维框架步入数值方法并不轻松,为配合这门课程的教学,我们组织编写了工科大学5计算方法学习指导6^[2],作为教材^[3]的辅助和补充.这本书对本课程的基本方法和基本原理作了系统的归纳,对各种具有代表性的典型题的解题思路、解题方法和解题技巧进行了详细的剖析归纳,给出了每道题的详尽解答,并配备了一定量的习题供学生选做.力图介绍分析问题的方法与解题技巧,提高学生分析问题和解决问题的能力,有效地掌握计算方法的基本原理.本书形式新颖,内容丰富,对提高学生的学习兴趣和自学能力有极大帮助,使学生能在较短的时间内掌握本课程的思想实质,做到触类旁通.通过几个学年的试用,取得了令人满意的效果.

此外,我们还编写了计算方法上机指导,力求在较短的篇幅里,阐明一个数值实验所依据的数学原理、所采用的数学方法,以及如何编程和对结果进行怎样的数据分析,从实验中获得了什么结论和启示./上机指导0对学生的上机实验取得了事半功倍的效果.